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In der Mathematik sind Herman-Ringe (auch Arnold-Herman-Ringe) ein Begriff aus der Theorie komplexer dynamischer Systeme. Es handelt sich um ringförmige Komponenten der Fatou-Menge, auf denen die Dynamik zu einer irrationalen Drehung konjugiert ist.

• Definition

• Geschichte

• Literatur

• Weblinks

Sei f : : S → → S {\displaystyle f\colon S\to S} eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen.

Eine Zusammenhangskomponente U {\displaystyle U} der Fatou-Menge F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} heißt Herman-Ring, wenn es eine biholomorphe Abbildung

ϕ ϕ : : U → → R {\displaystyle \phi \colon U\to R}

auf ein Ringgebiet

R = { z ∈ ∈ C : : r < | z | < 1 } {\displaystyle R=\left\{z\in \mathbb {C} \colon r<\vert z\vert <1\right\}}

mit r > 0 {\displaystyle r>0} gibt, so dass ϕ ϕ f ϕ ϕ − − 1 {\displaystyle \phi f\phi ^{-1}} eine irrationale Drehung, also

ϕ ϕ f ϕ ϕ − − 1 ( z ) = e 2 π π i α α z {\displaystyle \phi f\phi ^{-1}(z)=e^{2\pi i\alpha }z}

für ein α α ∈ ∈ R ∖ ∖ Q {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } ist.

Nach Fatous Klassifikation invarianter Komponenten der Fatou-Menge für die Iteration einer rationalen Funktion f {\displaystyle f} müssen diese entweder Attraktionsgebiete, parabolische Gebiete oder Rotationsgebiete sein. Rotationsgebiete sind mit heutigen Bezeichnungen entweder Siegel-Scheiben oder Herman-Ringe. Die Existenz von Siegel-Scheiben wurde 1942 von Siegel bewiesen, während die Existenz von Herman-Ringen lange offen war und erst 1979 von Herman (mit Hilfe eines Satzes von Arnold über die Lösbarkeit einer gewissen Funktionalgleichung) bewiesen wurde.

• Michael Herman: Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, Publications Mathématiques de l’IHÉS 49, 5–233 (1979)

• Arnold-Herman-Ring (Lexikon der Mathematik)